非心カイ2乗分布 計算ツール
自由度 k と非心度 λ の非心カイ2乗分布について、値 x の確率密度・累積分布・上側確率・平均・分散を計算します。
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入力
自由度 k・非心度 λ の非心カイ2乗分布について、値 x における確率密度・累積分布・上側確率を計算します。
確率を評価したい値 x を入力します。
正の自由度 k を入力します（非整数も可）。
0 以上の非心度 λ を入力します。0 で中心カイ2乗分布になります。
計算結果
下側確率 F(x = 8)（自由度 3・非心度 2）
0.81759729
上側確率 1 − F(x)
0.18240271
確率密度 f(x)
0.05187103
平均 k + λ
5
分散
14
確率密度関数 PDF のグラフ
累積分布関数 CDF のグラフ
計算方法・使い方
- 非心カイ2乗分布は、平均が 0 でない独立な正規変数の2乗和が従う分布で、自由度 k と非心度 λ の2つのパラメータを持ちます。λ=0 のとき通常（中心）のカイ2乗分布に一致します。
- 累積分布は F(x) = Σ_j e^(−λ/2)(λ/2)^j / j! · P(k/2+j, x/2) で計算します。ここで P(s, t) は正則化下側不完全ガンマ関数で、ポアソン重みを掛けた中心カイ2乗分布の混合になっています。
- 確率密度は中心カイ2乗の確率密度を同じポアソン重みで混合した f(x) = Σ_j e^(−λ/2)(λ/2)^j / j! · g(x; k+2j) で求めます。g は自由度 k+2j の中心カイ2乗の密度です。
- 平均は k+λ、分散は 2(k+2λ) です。非心度 λ が大きいほど分布は右へ移動し、裾が広がります。
- 上側確率は 1−F(x) で、検定力（検出力）の計算などに使われます。本ツールは級数をポアソン分布のモード付近から両方向へ評価して数値的な安定性を確保しています。
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